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JZ10-Ⅰ.斐波那契数列

描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1. 斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

思路

面试题10- I. 斐波那契数列（动态规划，清晰图解） - 斐波那契数列

递归法： 原理： 把 f(n)f(n) 问题的计算拆分成 f(n-1)f(n−1) 和 f(n-2)f(n−2) 两个子问题的计算，并递归，以 f(0)f(0) 和 f(1)f(1) 为终止条件。 缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n)f(n) 和 f(n - 1)f(n−1) 两者向下递归需要 各自计算 f(n - 2)f(n−2) 的值。 记忆化递归法： 原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 nn 的数组，用于在递归时存储 f(0)f(0) 至 f(n)f(n) 的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。 缺点： 记忆化存储需要使用 O(N)O(N) 的额外空间。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        res = [0, 1]
        for i in range(2, n+1):
            res.append(res[i-2]+res[i-1])
        return res[n]%1000000007

动态规划： 原理： 以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)f(n+1)=f(n)+f(n−1) 为转移方程。 从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        a, b = 0, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, b+a
        return a%1000000007

JZ10-Ⅱ.青蛙跳台阶问题

描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

思路

• 设跳上 nn 级台阶有 f(n)f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 11 级或 22 级台阶。 当为 1 级台阶： 剩 n−1 个台阶，此情况共有 f(n-1) 种跳法； 当为 2 级台阶： 剩 n−2 个台阶，此情况共有 f(n-2) 种跳法。
• f(n) 为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n-1)+f(n-2) ，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第 nn 项的值 ，与 面试题10- I. 斐波那契数列 等价，唯一的不同在于起始数字不同。
  • 青蛙跳台阶问题： f(0)=1, f(1)=1, f(2)=2；
  • 斐波那契数列问题：f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2。

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, a+b
        return a%1000000007

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